Isoperimetrische Ungleichung

Die isoperimetrische Ungleichung ist eine mathematische Ungleichung aus der Geometrie, die in der Ebene den Flächeninhalt einer Figur gegen ihren Umfang abschätzt und im dreidimensionalen Raum das Volumen eines Körpers gegen dessen Oberflächeninhalt. Gleichzeitig charakterisiert sie eine Sonderstellung des Kreises unter allen Figuren in der Ebene sowie eine Sonderstellung der Kugel unter allen Körpern im dreidimensionalen Raum, die darin besteht, dass allein beim Kreis bzw. bei der Kugel der Gleichheitsfall in dieser Ungleichung eintritt.

Das bedeutet, dass unter allen Figuren in der Ebene mit gleichem Umfang der Kreis den größten Flächeninhalt einschließt, und entsprechend, dass unter allen Körpern im dreidimensionalen Raum mit gleicher Oberfläche die Kugel das größte Volumen aufweist. Der Kreis in der Ebene und die Kugel im Raum sind Lösungen des isoperimetrischen Problems (eine geschlossene Kurve zu finden, die den größten Inhalt bei gegebenem Umfang umschließt).

Auch im ${\displaystyle n}$-dimensionalen Euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ gilt die analoge Aussage: Unter allen Körpern mit gleichem ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionalem Oberflächeninhalt besitzt die ${\displaystyle n}$-dimensionale Kugel das größte ${\displaystyle n}$-dimensionale Volumen.

Das Wort isoperimetrisch entstammt dem Griechischen: iso steht für „gleich“, und perimeter bedeutet „Umfang“.