Julia-Menge

Die Julia-Mengen, erstmals von Gaston Maurice Julia und Pierre Fatou beschrieben, sind Teilmengen der komplexen Zahlenebene, wobei zu jeder holomorphen oder meromorphen Funktion eine Julia-Menge gehört. Oft sind die Julia-Mengen fraktale Mengen. Das Komplement der Julia-Menge heißt Fatou-Menge.

Wendet man eine auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ definierte Funktion ${\displaystyle f}$ immer wieder auf ihre Funktionswerte an, dann ergibt sich für jedes ${\displaystyle z}$ eine Folge komplexer Zahlen:

${\displaystyle z\mapsto f(z)\mapsto f(f(z))\mapsto \cdots }$

Abhängig vom Startwert ${\displaystyle z}$ kann diese Folge zwei grundlegend verschiedene Verhalten zeigen:

• Eine kleine Änderung des Startwertes führt zu praktisch der gleichen Folge, die Dynamik ist in gewissem Sinne stabil: Der Startwert wird der Fatou-Menge zugeordnet.
• Eine noch so kleine Änderung des Startwertes führt zu einem komplett anderen Verhalten der Folge, die Dynamik hängt „chaotisch“ vom Startwert ab: Der Startwert gehört zur Julia-Menge.