Källén-Lehmann-Darstellung

Die Källén-Lehmann-Darstellung, nach Gunnar Källén und Harry Lehmann, oder spektrale Darstellung ist eine Darstellung von Propagatoren in der Quantenfeldtheorie. Die Källén-Lehmann-Darstellung ist exakt, beruht also nicht auf störungstheoretischen Näherungen. Sie lautet für ein skalares Feld im Ortsraum:

${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{-\mathrm {i} p(x-y)}\mathrm {i} \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} q^{2}{\frac {\rho (q^{2})}{p^{2}-q^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}$

Dabei ist

• ${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle }$ der Propagator des Quantenfelds ${\displaystyle \phi }$ vom Raumzeitpunkt ${\displaystyle x}$ nach ${\displaystyle y}$ und
• ${\displaystyle \rho (q^{2})}$ die Spektraldichte.

Man definiert

${\displaystyle \Pi (p^{2})=\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} q^{2}{\frac {\rho (q^{2})}{p^{2}-q^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}$

als (bis auf numerische Faktoren) die Fouriertransformierte des Propagators als Propagator im Impulsraum.