Karazuba-Algorithmus

Der Karazuba-Algorithmus ist ein Algorithmus zur Multiplikation zweier großer ganzer Zahlen. Er wurde 1960 von dem 23-jährigen Anatoli Alexejewitsch Karazuba (engl. Karatsuba, russisch Анатолий Алексеевич Карацуба) entwickelt und 1962 veröffentlicht.

Bezeichnet ${\displaystyle n}$ die Bit-Anzahl der beiden Zahlen und ${\displaystyle O}$ ein Landau-Symbol, so ist der Algorithmus mit einer Laufzeitkomplexität von ${\displaystyle O(n^{\log _{2}3}),\ \log _{2}3=1{,}5849\ldots ,}$ deutlich schneller als die Schulmethode. Diese (und auch deren implizite Übertragung auf das Binärsystem in Form der russischen Bauernmultiplikation) besitzt eine Laufzeitkomplexität von ${\displaystyle O(n^{2})}$. Die Methode von Karazuba wurde zum Vorbild für das Teile-und-herrsche-Prinzip in der Informatik. Für hinreichend große Zahlen ist der Karazuba-Algorithmus langsamer als seine Verallgemeinerungen, wie der Toom-Cook-Algorithmus (1965) und der Schönhage-Strassen-Algorithmus (1971), dessen Laufzeitkomplexität ${\displaystyle O{\big (}n(\log n)\log(\log n){\big )}}$ beträgt und der aus Sicht der Komplexitätstheorie als schnellster Algorithmus zur Multiplikation großer ganzer Zahlen galt, bis 2007 Martin Fürer eine Weiterentwicklung mit einer (bisher nur theoretisch) geringeren Laufzeitkomplexität vorstellte.