Klassenkörper

In der algebraischen Zahlentheorie versteht man unter einem Klassenkörper ${\displaystyle K}$ über einem vorgegebenen algebraischen Zahlkörper ${\displaystyle k}$ eine Galoissche Erweiterung ${\displaystyle K/k}$, deren Automorphismengruppe ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}$ zu einer verallgemeinerten Idealklassengruppe ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{k}}$ des Grundkörpers ${\displaystyle k}$ isomorph ist. Der Isomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)\simeq {\mathcal {C}}_{k}}$ motiviert die Bezeichnung von ${\displaystyle K}$ als Klassenkörper. Da jede verallgemeinerte Idealklassengruppe ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{k}}$ eine abelsche (kommutative) Gruppe ist, sind alle Klassenkörper ${\displaystyle K}$ von ${\displaystyle k}$ abelsche Erweiterungen. Diese Verallgemeinerungen der gewöhnlichen Klassengruppe ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{k}/{\mathcal {H}}_{k}}$, also des Quotienten der Gruppe der gebrochenen Ideale von ${\displaystyle k}$ nach der Untergruppe der Hauptideale, müssen im nachfolgenden Abschnitt genau beschrieben werden, um die Klassenkörper über ${\displaystyle k}$ präzise definieren zu können.