Kleenesche und positive Hülle

Die kleenesche Hülle (auch endlicher Abschluss, Kleene-*-Abschluss, Verkettungshülle oder Sternhülle genannt) eines Alphabets ${\displaystyle \Sigma }$ oder einer formalen Sprache ${\displaystyle L}$ ist die Menge aller Wörter, die durch beliebige Konkatenation (Verknüpfung) von Symbolen des Alphabets ${\displaystyle \Sigma }$ bzw. von Wörtern der Sprache ${\displaystyle L}$ gebildet werden können, wobei das leere Wort ${\displaystyle \varepsilon }$ inbegriffen ist. Sie ist nach dem US-amerikanischen Mathematiker und Logiker Stephen Cole Kleene benannt. Demgegenüber ist die positive Hülle (auch Kleene-+-Abschluss genannt) eines Alphabets ${\displaystyle \Sigma }$ oder einer formalen Sprache ${\displaystyle L}$ die Menge aller Wörter, die aus den Symbolen von ${\displaystyle \Sigma }$ beziehungsweise aus Wörtern von ${\displaystyle L}$ gebildet werden können und die nur dann das leere Wort enthält, wenn die positive Hülle auf eine Sprache angewandt wird, die selbst das leere Wort als Element enthält.

Der Operator der kleeneschen Hülle ist der Kleene-Stern „${\displaystyle ^{*}}$“. So ist die Darstellung der kleeneschen Hülle eines Alphabets ${\displaystyle \Sigma }$ gleich ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ und einer Sprache ${\displaystyle L}$ gleich ${\displaystyle L^{*}}$. Demgegenüber ist der Operator der positiven Hülle das Pluszeichen „${\displaystyle ^{+}}$“, sodass die positive Hülle eines Alphabets ${\displaystyle \Sigma }$ mit ${\displaystyle \Sigma ^{+}}$ und einer Sprache ${\displaystyle L}$ mit ${\displaystyle L^{+}}$ dargestellt wird.

In Anlehnung an den Kleene-*-Operator über Sprachen wird der *-Operator bei regulären Ausdrücken ebenfalls Kleene-*-Operator genannt. Die Anzahl verschachtelter Kleene-*-Operatoren bestimmt die Sternhöhe eines regulären Ausdrucks.