Kommutatorgruppe

In der Mathematik bezeichnet die Kommutatorgruppe (oder Kommutator-Untergruppe) zu einer Gruppe ${\displaystyle G}$ diejenige Untergruppe, die von den Kommutatoren ${\displaystyle [a,b]:=aba^{-1}b^{-1}}$ in der Gruppe ${\displaystyle G}$ erzeugt wird:

${\displaystyle K(G):=\left\langle \,\left\{[a,b]\mid \ a,b\in G\right\}\,\right\rangle .}$

Die Kommutatorgruppe wird auch mit ${\displaystyle [G,G]}$ und mit ${\displaystyle G'}$ (oder ${\displaystyle G^{(1)}}$) bezeichnet und abgeleitete Gruppe (von ${\displaystyle G}$) genannt.

Im Allgemeinen ist die Menge aller Kommutatoren ${\displaystyle \left\{[a,b]\mid \ a,b\in G\right\}}$ keine Gruppe, die Phrase „erzeugt von“ in der Definition (gleichbedeutend mit den spitzen Klammern ${\displaystyle \left\langle \,\right\rangle }$ in der Formel) kann also nicht weggelassen werden.

Die Ordnung der Kommutatorgruppe ist ein Maß, wie weit eine Gruppe von der Kommutativität entfernt ist. Eine Gruppe ist genau dann kommutativ (abelsch), wenn ihre Kommutatorgruppe nur aus dem neutralen Element, genannt ${\displaystyle e}$, besteht. In diesem Falle gilt nämlich ${\displaystyle [a,b]=e}$ für alle ${\displaystyle a,b\in G}$. Im Gegensatz dazu heißen Gruppen, bei denen die Kommutatorgruppe die ganze Gruppe umfasst, perfekte Gruppen.