Trigonometrisches Polynom

Ein trigonometrisches Polynom, auch eine trigonometrische Summe genannt, ist in der reellen Analysis eine endliche, reelle Linearkombination der trigonometrischen Funktionen ${\displaystyle x\mapsto \cos(kx)\;(k\in \mathbb {N} _{0})}$ und ${\displaystyle x\mapsto \sin(kx)\;(k\in \mathbb {N} \setminus \{0\})}$, wobei die Linearkombination als Funktion für ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ definiert wird. Diese reellwertigen Funktionen lassen auch eine eindeutige (formal) komplexe Darstellung zu, bei der bestimmte komplexe Linearkombinationen aus den Exponentialfunktionen ${\displaystyle e^{ikx}\;(k\in \mathbb {Z} )}$ an Stelle der Kosinus- und Sinus-Funktionen gebildet werden. Mit dieser Darstellung werden Rechnungen häufig vereinfacht. Die reellen trigonometrischen Polynome sind Partialsummen von reellen Fourierreihen und spielen unter anderem bei der Lösung von gewöhnlichen, linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und für die diskrete Fouriertransformation eine wichtige Rolle.

In der Funktionentheorie, der Funktionalanalysis und in vielen Anwendungen, wie etwa der analytischen Zahlentheorie (siehe Kreismethode nach Winogradow in diesem Artikel) wird jede beliebige komplexe Linearkombination von Funktionen ${\displaystyle x\mapsto e^{ik\omega x}\;(k\in \mathbb {Z} )}$ mit festem reellen ${\displaystyle \omega >0}$ als komplexes trigonometrisches Polynom oder komplexe trigonometrische Summe bezeichnet.

Sowohl die reellen als auch die komplexen trigonometrischen Polynome liefern eindeutige Bestapproximationen – zu jedem gegebenen Grad ${\displaystyle n}$ existiert genau eine beste Näherung unter den trigonometrischen Polynomen, die höchstens diesen Grad haben – im quadratischen Mittel für jede Funktion des Funktionenraums, den die erzeugenden trigonometrischen Funktionen jeweils als Orthonormalbasis (Orthogonalsystem) bestimmen.

Lässt man in den Linearkombinationen auch unendlich viele nichtverschwindende „Summanden“ zu, dann gelangt man zu den Begriffen einer reellen bzw. komplexen trigonometrischen Reihe.