Kreisteilungspolynom

In der Algebra werden Kreisteilungspolynome (auch: Zyklotomische Polynome) verwendet, um Unterteilungen des Einheitskreises in gleiche Teile zu untersuchen. Unter dem ${\displaystyle n}$-ten Kreisteilungspolynom ${\displaystyle \Phi _{n}}$ versteht man dasjenige ganzzahlige Polynom größten Grades mit Leitkoeffizient 1, das ${\displaystyle x^{n}-1}$ teilt, jedoch zu allen ${\displaystyle x^{d}-1}$ mit ${\displaystyle d<n}$ teilerfremd ist. Seine Nullstellen über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sind genau die primitiven ${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln ${\displaystyle e^{2\pi \cdot \mathrm {i} k/n}}$, wobei ${\displaystyle k}$ die zu ${\displaystyle n}$ teilerfremden Zahlen zwischen ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle n}$ durchläuft.

Die Bezeichnung „Kreisteilungspolynom“ stammt vom geometrischen Problem der Kreisteilung, also der Konstruktion eines regelmäßigen Vielecks unter Beschränkung auf die Euklidischen Werkzeuge Zirkel und Lineal. Für welche ${\displaystyle n}$-Ecke dies gelingt, findet sich im Artikel konstruierbares Polygon.