Kubische Gleichung

Kubische Gleichungen sind Polynomgleichungen dritten Grades, also algebraische Gleichungen der Form

${\displaystyle y:=A\cdot x^{3}+B\cdot x^{2}+C\cdot x+D=0~,}$

wobei die ${\displaystyle A,B,C,D}$ als Koeffizienten bezeichnet werden, Elemente eines Ringes ${\displaystyle R}$ sind und ${\displaystyle A\neq 0}$ ist. Bei den wichtigsten Anwendungen ist ${\displaystyle R\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ der Körper der reellen oder komplexen Zahlen. Im letzteren Fall hat die kubische Gleichung nach dem Fundamentalsatz der Algebra stets drei komplexe Lösungen ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$, die auch zusammenfallen können. Mit ihrer Hilfe lässt sich das Polynom in faktorisierter Form darstellen:

${\displaystyle y=A\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})\cdot (x-x_{3})~}$.

Im Falle reeller Koeffizienten stellt die Menge der Paare ${\displaystyle (x,y)}$ geometrisch eine kubische Parabel in der ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene dar, also den Graph einer kubischen Funktion. Dessen Nullstellen, also seine Schnittpunkte mit der ${\displaystyle x}$-Achse, sind die reellen Lösungen der kubischen Gleichung. Der Funktionsgraph hat nach dem Zwischenwertsatz stets mindestens eine reelle Nullstelle, jedoch höchstens drei.