Lah-Zahl

Die Lah-Zahlen sind in der Mathematik die Koeffizienten zur gegenseitigen Darstellung von steigenden und fallenden Faktoriellen.

Sie wurden erstmals 1955 von Ivo Lah beschrieben. Es gilt:

${\displaystyle x^{\overline {n}}=\sum _{k=0}^{n}L_{n,k}x^{\underline {k}}}$

Die vorzeichenlosen Lah-Zahlen sind wie folgt definiert:

${\displaystyle L_{n,k}={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}$

Die vorzeichenbehafteten Lah-Zahlen sind definiert durch

${\displaystyle L_{n,k}=(-1)^{n}{n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}$

Für die Inversionsformel der steigenden und fallenden Faktoriellen benutzt man die vorzeichenlosen Lah-Zahlen.

Diese haben in der Kombinatorik eine interessante Eigenschaft: Sie beschreiben die Anzahl der linear geordneten ${\displaystyle k}$-Partitionen einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge.

Außerdem gilt:

${\displaystyle L(n,k)=B_{n,k}(1!,2!,3!,4!,\ldots )}$

wobei ${\displaystyle B_{n,k}}$ für die Bell-Polynome steht.