Lamés Spannungsellipsoid

Lamés Spannungsellipsoid von Gabriel Lamé ist eine Möglichkeit, den Spannungszustand in einem Punkt zu veranschaulichen, siehe Abbildung 1. Jeder Vektor vom Zentrum des Ellipsoids zu einem Punkt auf dem Ellipsoid entspricht einem vom Spannungszustand zugelassenen Traktionsvektor auf einer Ebene durch das Zentrum des Ellipsoids. Diese Ebene ist parallel zur Tangentialfläche an die Spannungs-Direktor-Fläche (englisch stress-director surface) im Punkt. Somit ist ein Spannungszustand vollständig charakterisiert durch das Spannungsellipsoid und die Spannungs-Direktor-Flächen durch seine Punkte. Die Längen der Halbachsen, die Inhalte der Hauptflächen (im Bild blau, rot bzw. gelb) und das Volumen des Spannungsellipsoids hängen mit wichtigen #Kennzahlen des Spannungszustands zusammen, nämlich mit den Hauptinvarianten des Spannungstensors.

Wenn σ_1,2,3 die Hauptspannungen im Punkt sind, dann ist das Spannungsellipsoid gegeben durch

${\displaystyle {\frac {{\mathsf {x}}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}+{\frac {{\mathsf {y}}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}+{\frac {{\mathsf {z}}^{2}}{\sigma _{3}^{2}}}=1}$		(*)

und die Spannungs-Direktor-Flächen durch

${\displaystyle {\mathsf {{\frac {x^{2}}{\sigma _{1}}}+{\frac {y^{2}}{\sigma _{2}}}+{\frac {z^{2}}{\sigma _{3}}}=f}}}$		(**)

mit reellem f.