Laplace-Filter

Der Laplace-Filter bzw. diskrete Laplace-Operator ist ein Filter zur Kantendetektion, der den Laplace-Operator (Summe der beiden reinen zweiten Ableitungen) approximiert:

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

Unter einer Kante versteht man nun eine Kurve ${\displaystyle {\vec {g}}(t)}$, entlang derer der Gradient des Bildes ${\displaystyle f}$ immer in Normalenrichtung zeigt (das heißt eine Isolinie):

${\displaystyle f({\vec {g}}(t))\implies {\frac {df}{dt}}=\nabla f|_{{\vec {g}}(t)}\cdot {\frac {\partial {\vec {g}}}{\partial t}}=0}$

Das Vektorfeld ${\displaystyle \nabla f}$ ist also im Bereich der Kante quellenfrei. Eine Kante kann sich also nur einstellen, falls folgende Gleichung erfüllt ist:

${\displaystyle 0=\nabla \cdot (\nabla f)=\Delta f}$

Man sucht also die Nulldurchgänge eines Laplace-gefilterten Bildes. Allerdings ist hierbei zu beachten, dass auch ${\displaystyle \Delta f}$ homogener Flächen gleich null sind. Der Laplace-Filter liefert also nur eine Obermenge der möglichen Kanten.