Lineare Unabhängigkeit

In der linearen Algebra wird eine Familie von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert null gesetzt werden. Äquivalent dazu ist, dass sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren der Familie darstellen lässt.

Andernfalls heißen sie linear abhängig. In diesem Fall lässt sich mindestens einer der Vektoren (aber nicht notwendigerweise jeder) als Linearkombination der anderen darstellen.

Zum Beispiel sind im dreidimensionalen euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ die Vektoren ${\displaystyle (1,0,0)}$, ${\displaystyle (0,1,0)}$ und ${\displaystyle (0,0,1)}$ linear unabhängig. Die Vektoren ${\displaystyle (2,{-1},1)}$, ${\displaystyle (1,0,1)}$ und ${\displaystyle (3,{-1},2)}$ sind hingegen linear abhängig, denn der dritte Vektor ist die Summe der beiden ersten, d. h. die Differenz von der Summe der ersten beiden und dem dritten ist der Nullvektor. Die Vektoren ${\displaystyle (1,2,{-3})}$, ${\displaystyle ({-2},{-4},6)}$ und ${\displaystyle (1,1,1)}$ sind wegen ${\displaystyle 2\cdot (1,2,{-3})+({-2},{-4},6)=(0,0,0)}$ ebenfalls linear abhängig; jedoch ist hier der dritte Vektor nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellbar.