Möbiustransformation

Eine Möbiustransformation, manchmal auch Möbiusabbildung oder (gebrochen) lineare Funktion genannt, bezeichnet in der Mathematik eine konforme Abbildung der Riemannschen Zahlenkugel auf sich selbst. Sie ist benannt nach August Ferdinand Möbius.

Diskrete Gruppen von Möbiustransformationen werden als Kleinsche Gruppen bezeichnet.

Die allgemeine Formel der Möbiustransformation ist gegeben durch

${\displaystyle \phi :z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$,

wobei ${\displaystyle a,b,c,d}$ komplexe Zahlen sind, die ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ erfüllen.

Möbiustransformationen sind konform (winkelerhaltend) und kreistreu (bilden Geraden und Kreise auf Geraden und Kreise ab).

Jede Möbiustransformation lässt sich zu einer eindeutigen Isometrie des dreidimensionalen hyperbolischen Raumes fortsetzen.