Maß (Mathematik)

Ein Maß ist in der Mathematik eine Funktion, die geeigneten Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zuordnet, die als „Maß“ für die Größe dieser Mengen interpretiert werden können. Dabei müssen sowohl der Definitionsbereich eines Maßes, also die messbaren Mengen, als auch die Zuordnung selbst gewisse Voraussetzungen erfüllen, wie sie beispielsweise durch elementargeometrische Begriffe der Länge einer Strecke, dem Flächeninhalt einer geometrischen Figur oder dem Volumen eines Körpers nahegelegt werden.

Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Konstruktion und der Untersuchung von Maßen beschäftigt, ist die Maßtheorie. Der allgemeine Maßbegriff geht zurück auf Arbeiten von Émile Borel, Henri Léon Lebesgue, Johann Radon und Maurice René Fréchet. Dabei stehen Maße stets in engem Zusammenhang mit der Integration von Funktionen und bilden die Grundlage moderner Integralbegriffe (siehe Lebesgue-Integral). Seit der Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Andrei Kolmogorow ist die Stochastik ein weiteres großes Anwendungsgebiet für Maße. Dort werden Wahrscheinlichkeitsmaße verwendet, um zufälligen Ereignissen, die als Teilmengen eines Ergebnisraums aufgefasst werden, Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen.