Mersenne-Zahl

Eine Mersenne-Zahl ist eine Zahl der Form ${\displaystyle 2^{n}-1}$. Im Speziellen bezeichnet man mit ${\displaystyle M_{n}=2^{n}-1}$ die ${\displaystyle n}$-te Mersenne-Zahl. Die ersten sieben Mersenne-Zahlen ${\displaystyle M_{n}}$ sind

${\displaystyle 1,3,7,15,31,63,127}$ (Folge A000225 in OEIS).

Die Primzahlen unter den Mersenne-Zahlen werden Mersenne-Primzahlen genannt. Die ersten acht Mersenne-Primzahlen ${\displaystyle M_{p}}$ sind

${\displaystyle 3,7,31,127,8191,131071,524287,2147483647}$ (Folge A000668 in OEIS)

für die Exponenten ${\displaystyle p=2,3,5,7,13,17,19,31}$ (Folge A000043 in OEIS).

Bei der Darstellung im Dualsystem zeigen sich Mersennezahlen als Einserkolonnen, d. h. Zahlen, die ausschließlich aus Einsen bestehen. Die ${\displaystyle n}$-te Mersennezahl ist im Dualsystem eine Zahl mit ${\displaystyle n}$ Einsen (Beispiel: ${\displaystyle M_{3}=7=111_{2}}$). Mersenne-Zahlen zählen im Binären zu den Zahlenpalindromen, Mersenne-Primzahlen dementsprechend zu den Primzahlpalindromen.

Ihren Namen haben diese Primzahlen von dem französischen Mönch und Priester Marin Mersenne (1588–1648), der im Vorwort seiner Cogitata Physico-Mathematica behauptete, dass für ${\displaystyle p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127}$ und ${\displaystyle 257}$ die Zahl ${\displaystyle M_{p}}$ eine Primzahl sei.

Er irrte sich jedoch bei den Zahlen ${\displaystyle M_{67}}$ und ${\displaystyle M_{257}}$ und übersah die Mersenne-Primzahlen ${\displaystyle M_{61}}$, ${\displaystyle M_{89}}$ und ${\displaystyle M_{107}}$. Dass ${\displaystyle M_{67}}$ keine Primzahl ist, hat Édouard Lucas 1876 gezeigt, aber erst im Jahre 1903 konnte der Mathematiker Frank Nelson Cole die Primfaktoren dieser Zahl benennen. Um den Nachweis zu führen, dass ${\displaystyle M_{257}}$ keine Primzahl ist, wurde 1932 eine frühe Rechenmaschine verwendet. Bei der Zahl ${\displaystyle M_{67}}$ handelt es sich möglicherweise um einen Lesefehler seitens Mersenne aus seiner Korrespondenz mit Bernard Frénicle de Bessy und Pierre de Fermat, wobei er ${\displaystyle p=61}$ mit ${\displaystyle p=67}$ verwechselte.

Mersenne-Zahlen kommen auch beim Mersenne-Twister vor, einem Pseudozufallszahlengenerator.