Minimalfläche

Eine Minimalfläche ist eine Fläche im Raum, die lokal minimalen Flächeninhalt hat. Derartige Formen nehmen beispielsweise Seifenhäute an, wenn sie über einen entsprechenden Rahmen (wie etwa einen Blasring) gespannt sind.

In mathematischer Sprache sind Minimalflächen die kritischen Punkte des Flächeninhaltsfunktionals

${\displaystyle A(\mathbf {x} )=\int {\sqrt {g(u)}}\,\mathrm {d} ^{n}u}$.

Hierbei sind die Größen ${\displaystyle g(u):=\operatorname {det} (g_{ij}(u))_{i,j=1,\dotsc ,n}}$ und ${\displaystyle g_{ij}(u)=\left({\tfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial u_{i}}}\right)^{T}{\tfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial u_{j}}}}$ für ${\displaystyle i,j=1,\dotsc ,n}$ erklärt (vgl. Hesse-Matrix). Man beachte, dass eine Minimalfläche nicht notwendig minimalen Flächeninhalt hat, sondern lediglich ein stationärer Punkt des Flächeninhaltsfunktionals ist. Man kann zeigen, dass das Verschwinden der ersten Variation des Flächeninhaltsfunktionals in zwei Raumdimensionen äquivalent zum Verschwinden der mittleren Krümmung H ist, falls die betrachtete Mannigfaltigkeit hinreichend regulär ist.

Minimalflächen stehen schon seit dem 19. Jahrhundert im Blickpunkt mathematischer Forschung. Ein wesentlicher Beitrag dazu waren die Experimente des belgischen Physikers Joseph Plateau.