Mostow-Starrheit

In der Mathematik besagt der Mostowsche Starrheitssatz (auch starker Starrheitssatz oder Mostow-Prasad-Starrheitssatz) im Wesentlichen, dass die Geometrie einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit endlichen Volumens der Dimension größer 2 durch ihre Fundamentalgruppe bestimmt wird und mithin eindeutig ist. Der Satz wurde für geschlossene Mannigfaltigkeiten von George Mostow bewiesen, dann ausgedehnt auf Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens von Albert Marden in Dimension 3 und von Gopal Prasad in Dimension ${\displaystyle \geq 3}$. Gromow gab einen anderen Beweis mit Hilfe des simplizialen Volumens. Auf André Weil geht eine schwächere lokale Version zurück, nämlich dass kokompakte diskrete Gruppen von Isometrien des hyperbolischen Raumes der Dimension mindestens 3 keine nicht-trivialen Deformationen zulassen. Eine Verschärfung des Mostowschen Starrheitssatzes ist der von Margulis bewiesene Superstarrheitssatz.

Der Satz besagt, dass der Deformationsraum der (vollständigen) hyperbolischen Strukturen auf einer hyperbolischen n-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens (${\displaystyle n>2}$) ein Punkt ist. Im Gegensatz dazu hat eine hyperbolische Fläche vom Geschlecht g einen 6g-6-dimensionalen Modulraum, der die Metriken konstanter Krümmung ${\displaystyle K=-1}$ (bis auf Diffeomorphismus) klassifiziert, siehe Teichmüller-Raum. In Dimension 3 gibt es einen "Flexibilitätssatz" von Thurston, den Satz über hyperbolische Dehn-Chirurgie: er erlaubt es hyperbolische Strukturen endlichen Volumens zu deformieren, wenn man Änderungen der Topologie der Mannigfaltigkeit zulässt. Es gibt auch eine umfangreiche Theorie der Deformationen hyperbolischer Strukturen auf hyperbolischen Mannigfaltigkeiten unendlichen Volumens.