Multinomialkoeffizient

Der Multinomialkoeffizient oder auch Polynomialkoeffizient ist eine Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten. Für nichtnegative ganze Zahlen ${\displaystyle k_{1},\dotsc ,k_{r}}$ und ${\displaystyle n:=k_{1}+\dotsb +k_{r}}$ ist er definiert als

${\displaystyle {n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}:={\frac {n!}{k_{1}!\dotsm k_{r}!}}.}$

Dabei ist ${\displaystyle n!=n\cdot (n-1)\dots 2\cdot 1}$ die Fakultät von ${\displaystyle n}$ bzw. analog ${\displaystyle k_{i}!}$ die Fakultät von ${\displaystyle k_{i}}$.

Für ${\displaystyle r=2}$ und ${\displaystyle k:=k_{1}}$ muss ${\displaystyle k_{2}=n-k}$ sein und man erhält als Spezialfall den Binomialkoeffizienten ${\displaystyle {n \choose k}={n \choose k_{1},k_{2}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$.