Negationstreu

Negationstreu (engl.: negation complete) ist eine Eigenschaft von Folgen ${\displaystyle \Phi }$ von prädikatenlogischen Ausdrücken. Diese Eigenschaft wird – in Verwechslungsgefahr zu andersgemeinten Begriffen der Vollständigkeit – auch syntaktisch vollständig (in der englischsprachigen Literatur auch syntactically complete, deductively complete or maximally complete) genannt.

Definition: Eine Menge ${\displaystyle \Phi }$ von prädikatenlogischen Ausdrücken heißt negationstreu, wenn für jeden beliebigen Ausdruck ${\displaystyle \phi }$ gilt:

${\displaystyle \Phi \vdash \phi }$ oder ${\displaystyle \Phi \vdash \neg \phi }$ .

Man kann es auch anders ausdrücken: Ein formales System, gegeben durch die Axiomenmenge ${\displaystyle \Phi }$, ist negationstreu oder syntaktisch vollständig, wenn jedes weitere Axiom, das nicht selbst schon aus ${\displaystyle \Phi }$ ableitbar ist, zu einem Widerspruch führt.