Neilsche Parabel

Die Neil’sche Parabel (nach dem englischen Mathematiker William Neile benannt) oder semikubische Parabel ist eine spezielle ebene algebraische Kurve, die durch eine Gleichung der Form

• (A)${\displaystyle \quad y^{2}-a^{2}x^{3}\;=\,0\;,\;a>0\;,}$

beschrieben werden kann. Auflösen nach ${\displaystyle y}$ ergibt die explizite Form

• (E1) ${\displaystyle \quad y=\pm ax^{\frac {3}{2}}\;,\;x\geq 0\;,}$

die Anlass für die Bezeichnung semikubische Parabel liefert.

(Eine gewöhnliche Parabel kann durch eine Gleichung ${\displaystyle y=ax^{2}}$ beschrieben werden.)

Löst man (A) nach ${\displaystyle x}$ auf, so erhält man die Gleichung

• (E2) ${\displaystyle \quad x={\Big (}{\frac {y}{a}}{\Big )}^{\color {red}{\frac {2}{3}}}\;,\quad y\in \mathbb {R} \;.}$

Mit Hilfe der ersten Gleichung erkennt man, dass

• (P)${\displaystyle \quad x=t^{2}\;,\quad y=at^{3}\;,\quad t\in \mathbb {R} \;,}$

eine Parameterdarstellung der Neilschen Parabel ist.

William Neile hatte erstmals die Bogenlänge dieser Kurve berechnet, die sog. Rektifizierung, und dies 1657 bekannt gemacht. Aufgrund der Probleme bei der Rektifizierung von Ellipsen und Parabeln vermutete man zu dieser Zeit, dass der Kreis und die Gerade die einzigen rektifizierbaren algebraischen Kurven seien.

Die Neil’sche Parabel ist rational, es existiert also eine rationale Abbildung mit einer inversen rationalen Abbildung, die die Neil'sche Parabel auf die projektive Gerade abbildet.