Exzentrizität (Mathematik)

Der Ausdruck Exzentrizität hat in der Mathematik zwei verwandte Bedeutungen im Zusammenhang mit nicht ausgearteten Kegelschnitten (Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln):

• Die lineare Exzentrizität ist bei einer Ellipse bzw. Hyperbel der Abstand eines Brennpunkts zum Mittelpunkt und wird mit ${\displaystyle e}$ bezeichnet (s. Bild). Sie hat die Dimension einer Länge. Da ein Kreis eine Ellipse mit zusammenfallenden Brennpunkten ist ${\displaystyle (F_{1}=F_{2}=M)}$, gilt für den Kreis ${\displaystyle e=0}$.
• Die numerische Exzentrizität ${\displaystyle \varepsilon }$ ist für Ellipsen und Hyperbeln das Verhältnis ${\displaystyle e/a}$ der linearen Exzentrizität zur großen Halbachse und damit eine dimensionslose Zahl.

Für eine Ellipse gilt ${\displaystyle 0\leq \varepsilon <1}$. Im Fall ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ist die Ellipse ein Kreis.

Die numerische Exzentrizität beschreibt hier die mit wachsendem ${\displaystyle \varepsilon }$ zunehmende Abweichung einer Ellipse von der Kreisform.

Für eine Hyperbel gilt ${\displaystyle 1<\varepsilon }$. Mit wachsendem ${\displaystyle \varepsilon }$ wird die Hyperbel immer offener, d. h., der Winkel zwischen den Asymptoten wächst. Gleichseitige Hyperbeln, also solche mit rechtwinkligen Asymptoten, ergeben sich für ${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {2}}}$.

Für eine Parabel definiert man ${\displaystyle \varepsilon =1}$ (zur Motivation s. unten).

Die Bedeutung der numerischen Exzentrizität ergibt sich aus dem Umstand, dass Ellipsen bzw. Hyperbeln genau dann ähnlich sind, wenn sie dieselbe numerische Exzentrizität aufweisen. Parabeln (${\displaystyle \varepsilon \equiv 1}$) sind immer ähnlich.

Bei Ellipsen und Hyperbeln wird der Abstand ${\displaystyle e}$ der Brennpunkte vom Mittelpunkt auch Brennweite genannt. Bei einer Parabel hingegen wird der Abstand des Brennpunkts vom Scheitel als Brennweite bezeichnet.

In der Astronomie wird meist nur die numerische Exzentrizität verwendet und einfach Exzentrizität genannt, dabei aber abweichend von der Notation in der Mathematik oft mit ${\displaystyle e}$ bezeichnet.