Oberflächenintegral

Das Oberflächenintegral oder Flächenintegral ist eine Verallgemeinerung des eindimensionalen Integralbegriffes zwecks Anwendung auf ebenen oder gekrümmten Flächen. Das Integrationsgebiet ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ist also nicht ein eindimensionales Intervall, sondern eine zweidimensionale Menge im zwei- oder dreidimensionalen Raum. Für eine allgemeinere Darstellung im ${\displaystyle n}$-dimensionalen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle n\geq 2}$ siehe: Integration auf Mannigfaltigkeiten.

Es wird generell zwischen einem skalaren und einem vektoriellen Oberflächenintegral unterschieden, je nach Form des Integranden und des sogenannten Oberflächenelements. Sie lauten

${\displaystyle \iint _{\mathcal {F}}f\,\mathrm {d} \sigma }$ mit skalarer Funktion ${\displaystyle f}$ und skalarem Oberflächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} \sigma }$ sowie

${\displaystyle \iint _{\mathcal {F}}{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\sigma }}}$ mit vektorwertiger Funktion ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und vektoriellem Oberflächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {\sigma }}}$.

${\displaystyle \iint _{\mathcal {F}}{\vec {f}}\mathrm {d} \sigma }$ mit vektorwertiger Funktion ${\displaystyle {\vec {f}}}$ und skalarem Oberflächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} {\sigma }}$.

${\displaystyle \iint _{\mathcal {F}}{p}\,\mathrm {d} {\vec {\sigma }}}$ mit skalarer Funktion ${\displaystyle p}$ und vektorwertigem Oberflächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {\sigma }}}$.