Präsentation einer Gruppe

In der Mathematik ist die Präsentation (oder Präsentierung) einer Gruppe gegeben durch eine Menge von Elementen ${\displaystyle S}$, die die Gruppe erzeugen, und eine Menge von Relationen ${\displaystyle R}$, die zwischen diesen Erzeugern bestehen und sie wird mit

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$

notiert.

Zum Beispiel wird die zyklische Gruppe der Ordnung ${\displaystyle n}$ erzeugt von einem Element ${\displaystyle S=\{g\}}$ mit der Relation ${\displaystyle R=\{g^{n}=1\}}$, folglich ist ihre Präsentation

${\displaystyle \langle g\mid g^{n}=1\rangle .}$

Eine solche Präsentation nennt man daher auch Darstellung durch Erzeuger und Relationen. Ausführlicher bedeutet dies Folgendes:

• Jedes Element der Gruppe lässt sich schreiben als Produkt der angegebenen Erzeuger (sowie ihrer Inversen).
• Je zwei solche Schreibweisen desselben Elements unterscheiden sich nur durch die angegebenen Relationen (und ihre Konsequenzen).

Jede Gruppe lässt sich auf diese Weise präsentieren, und somit sind Präsentationen ein universelles Werkzeug, um Gruppen zu konstruieren und zu untersuchen. Eine endlich präsentierte Gruppe ist eine Gruppe, die durch endlich viele Erzeuger und Relationen beschrieben werden kann. Viele unendliche Gruppen erlauben eine endliche Präsentation und damit eine effiziente Beschreibung. Die kombinatorische Gruppentheorie untersucht Gruppen mit Hilfe ihrer Präsentationen und stellt hierzu umfangreiche Techniken zur Verfügung.