Projektivität

Eine Projektivität oder projektive Kollineation ist in der Geometrie eine besondere Kollineation einer projektiven Ebene oder eines projektiven Raums. Im einfachsten Fall ist eine Projektivität eine Zentralkollineation oder Perspektivität, d. h., es gibt einen Fixpunkt ${\displaystyle Z}$ (das Zentrum), und alle Geraden durch ${\displaystyle Z}$ sind Fixgeraden. Man definiert:

• Eine Projektivität (einer projektiven Ebene bzw. eines projektiven Raums) ist eine Kollineation, die sich durch ein Produkt (Hintereinanderausführung) von endlich vielen Perspektivitäten darstellen lässt. Im allgemeinen Fall gibt es außer den Projektivitäten weitere Kollineationen. In einem reellen projektiven Raum allerdings ist jede Kollineation schon eine Projektivität. Eine nützliche Besonderheit der Projektivitäten ist:
• Die Projektivitäten eines projektiven Raumes ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{n}(K)}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ sind genau die Kollineationen, die sich im homogenen Modell durch lineare Abbildungen (Matrizen) beschreiben lassen.

Damit sind die Werkzeuge der linearen Algebra zur Untersuchung von Projektivitäten anwendbar.

Eine Kollineation, die keine Projektivität ist, gibt es z. B. in der projektiven Ebene ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{2}(\mathbb {C} )}$ über den komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$: Die projektive Fortsetzung der Kollineation ${\displaystyle (x,y)\to ({\overline {x}},{\overline {y}})}$ der komplexen affinen Ebene ist keine Projektivität. Sie lässt sich im homogenen Modell nur durch eine semilineare Abbildung darstellen.

Eine projektive Kollineation sollte nicht verwechselt werden mit einer projektiven Abbildung. Letztere bildet einen projektiven Raum auf einen anderen ab.