Paraboloid

Ein Paraboloid ist eine Fläche zweiter Ordnung (Quadrik) und wird in den einfachsten Fällen durch eine Gleichung beschrieben:

• ${\displaystyle P1\colon \ z=x^{2}+y^{2}}$ für elliptisches Paraboloid
• ${\displaystyle P2\colon \ z=x^{2}-y^{2}}$ für ein hyperbolisches Paraboloid

Elliptische Paraboloide begegnen einem beispielsweise als Oberflächen von Satellitenschüsseln und als Energieentwertungsdiagramme beim Stoß rauer Starrkörper.
Hyperbolische Paraboloide sind Sattelflächen. Sie enthalten Geraden und werden deswegen von Architekten und Bauingenieuren als leicht modellierbare Dachformen (hyperbolische Paraboloidschalen) verwendet.

Anhand der Gleichungen erkennt man, dass beide Flächen viele Parabeln enthalten, was zur Namensgebung beigetragen hat:

${\displaystyle P1}$ ist eine Rotationsfläche. ${\displaystyle P1}$ entsteht durch Rotation der Parabel in der x-z-Ebene mit der Gleichung ${\displaystyle z=x^{2}}$ um die z-Achse.
${\displaystyle P2}$ ist keine Rotationsfläche. Aber auch bei ${\displaystyle P2}$ ist bis auf zwei Ausnahmen jeder Schnitt mit einer Ebene durch die z-Achse eine Parabel. Z. B. ist der Schnitt mit der Ebene ${\displaystyle x=0}$ (y-z-Ebene) die Parabel ${\displaystyle z=-y^{2}}$.
Beide Flächen lassen sich als Schiebflächen auffassen und lassen sich durch verschieben einer Parabel entlang einer zweiten Parabel erzeugen.

Allerdings gibt es auch wesentliche Unterschiede:

• ${\displaystyle P1}$ besitzt als Höhenschnitte Kreise (für konstantes ${\displaystyle z}$). Im allgemeinen Fall sind es Ellipsen (siehe unten), was sich im Namenszusatz widerspiegelt,
• ${\displaystyle P2}$ besitzt als Höhenschnitte Hyperbeln oder Geraden (für ${\displaystyle z=0}$), was den Zusatz hyperbolisch rechtfertigt.

Ein hyperbolisches Paraboloid ist nicht mit einem Hyperboloid zu verwechseln.