Satz von Cantor

Der Satz von Cantor besagt, dass eine Menge ${\displaystyle \,A}$ weniger mächtig als ihre Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ (der Menge aller Teilmengen) ist, dass also ${\displaystyle |A|<|{\mathcal {P}}(A)|}$ gilt. Er stammt vom Mathematiker Georg Cantor und ist eine Verallgemeinerung von Cantors zweitem Diagonalargument. Der Satz ist in allen Modellen gültig, die das Aussonderungsaxiom erfüllen.

Bemerkung: Der Satz gilt für alle Mengen, insbesondere auch für die leere Menge, denn ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}}$ ist einelementig. Allgemein gilt für endliche Mengen, dass die Potenzmenge einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge ${\displaystyle 2^{n}}$ Elemente hat. Da stets ${\displaystyle n<2^{n}}$, ist der Satz von Cantor für endliche Mengen klar, er gilt aber eben auch für unendliche Mengen.