Satz von Nielsen-Schreier

Der Satz von Nielsen-Schreier ist ein grundlegendes Ergebnis der kombinatorischen Gruppentheorie, eines Teilgebiets der Mathematik, das sich mit diskreten (zumeist unendlichen) Gruppen beschäftigt. Der Satz besagt, dass in einer freien Gruppe jede Untergruppe frei ist. Neben dieser qualitativen Aussage stellt die quantitative Fassung eine Beziehung her zwischen dem Index und dem Rang einer Untergruppe. Dies hat die überraschende Konsequenz, dass eine freie Gruppe vom Rang ${\displaystyle r\geq 2}$ Untergruppen von jedem beliebigen Rang ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ und sogar von (abzählbar) unendlichem Rang hat.

Der Satz kann besonders elegant und anschaulich mit Hilfe algebraisch-topologischer Methoden bewiesen werden, mittels Fundamentalgruppe und Überlagerungen von Graphen.