Satz von Picard-Lindelöf

Der Satz von Picard-Lindelöf ist in der Mathematik, neben dem Satz von Peano, ein grundlegender Satz der Theorie über die Existenz von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen. Er wurde erstmals 1890 von Ernst Leonard Lindelöf in einem Artikel zur Lösbarkeit von Differentialgleichungen aufgestellt. Um die gleiche Zeit beschäftigte sich auch Émile Picard mit der schrittweisen Approximation von Lösungen. Diese Picarditeration, eine Fixpunktiteration im Sinne des Fixpunktsatzes von Banach, ist der Kern moderner Beweise dieses Satzes.

Er wird auch als Satz von Cauchy-Lipschitz bezeichnet (nach Augustin-Louis Cauchy und Rudolf Lipschitz) oder als Existenzsatz von Picard.

Ähnlich wie im Satz von Peano wird auch dieser Satz in mehreren, aufeinander aufbauenden Versionen formuliert und bewiesen.

1. Die lokale Version besagt, dass jedes Anfangswertproblem zu einer Differentialgleichung ${\displaystyle y'(x)={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=f(x,y),\quad y(a)=y_{a}}$ unter Voraussetzung der Lipschitz-Bedingung (s. u.) in einer gewissen Umgebung von ${\displaystyle a}$ eindeutig gelöst werden kann. Die Größe dieser Umgebung hängt dabei stark von der rechten Seite ${\displaystyle f(x,y)}$ ab.
2. Die globale Version besagt, dass ein solches Anfangswertproblem, das auf einem senkrechten Streifen ${\displaystyle (x,y)\in [a,e]\times \mathbb {R} ^{n}}$ eine globale Lipschitz-Bedingung erfüllt, auf dem gesamten Intervall ${\displaystyle [a,e]}$ eine eindeutige Lösung besitzt.

Besitzt man erst einmal eine (lokale) Lösung, kann man aus dieser in einem zweiten Schritt auf die Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung schließen. In dieser Hinsicht ist der Satz von Picard-Lindelöf der erste Schritt für die Existenztheorie einer Differentialgleichung.

Bemerkung zur theoretischen Einbettung: Im Sinne einer möglichst knappen Darstellung ist es ausreichend, aus der Stetigkeit der rechten Seite ${\displaystyle f(x,y)}$ mit dem Satz von Peano auf die Existenz von (möglicherweise mehreren) maximalen Lösungen zu schließen und mit der gronwallschen Ungleichung auf die Eindeutigkeit der Lösung. Dieser Weg wird in einführenden Kursen meist nicht gewählt, da der Satz von Peano auf dem Satz von Arzelà-Ascoli aufbaut, während der Satz von Picard-Lindelöf mit wesentlich elementareren Mitteln, wie dem Fixpunktsatz von Banach, bewiesen werden kann.