Satz von Yamada-Watanabe

Der Satz von Yamada-Watanabe ist ein Resultat aus der Stochastik über starke und schwache Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen. Der Satz sagt, dass für eine große Klasse von SDEs die schwache Lösung und pfadweise Eindeutigkeit eine starke Lösung und Eindeutigkeit in Verteilung impliziert. Toshio Yamada und Shinzō Watanabe bewiesen 1971 den Satz zuerst für ${\displaystyle n}$-dimensionale Itōsche Differentialgleichungen

${\displaystyle dX_{t}=b(X_{t})dt+\sigma (X_{t})dW_{t},}$

wobei ${\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale brownsche Bewegung, ${\displaystyle \sigma }$ eine ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$-Matrix und ${\displaystyle b}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler Vektor ist. Die Umkehrung des Satzes nennt man den dualen Satz von Yamada-Watanabe und dieser wurde von Hans-Jürgen Engelbert (1991) und Alexander Cherny (2002) gezeigt.

Jean Jacod verallgemeinerte 1980 das Resultat auf SDEs der Form

${\displaystyle dX_{t}=u(X,Z)dZ_{t},}$

wobei ${\displaystyle (Z_{t})_{t\geq 0}}$ ein Semimartingal ist und der Koeffizient ${\displaystyle u}$ vom Pfad der Lösung und des angetriebenen Prozesses abhängen kann. Weitere Verallgemeinerungen des Satzes lieferten Engelbert (1991) und Thomas G. Kurtz (2007). Für SDEs in Banachräumen gibt es ein Resultat von Martin Ondrejat (2004) sowie von Michael Röckner, Byron Schmuland und Xicheng Zhang (2008) und Stefan Tappe (2013).