Schwache Lösung

In der Mathematik ist eine schwache Lösung einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung, auch verallgemeinerte Lösung genannt, eine Funktion, für die zwar möglicherweise nicht alle Ableitungen existieren, die aber dennoch in einem präzisen Sinn als Lösung der Gleichung angesehen werden kann. Es gibt viele verschiedene Definitionen schwacher Lösungen, die jeweils für verschiedene Klassen von Gleichungen geeignet sind, eine der wichtigsten baut auf dem Begriff der Distribution auf.

Um die Sprache der Distributionen zu vermeiden, schreibt man eine Differentialgleichung derart um, dass keine Ableitungen der Lösungsfunktion mehr vorkommen. Diese neue Form der Gleichung nennt man die schwache Formulierung und ihre Lösungen heißen schwache Lösungen. Überraschenderweise kann eine Differentialgleichung auf diese Weise eine nicht-differenzierbare Lösung haben, mittels der schwachen Formulierung können diese gefunden werden.

Schwache Lösungen sind wichtig, weil Modellierungen von Problemen der realen Welt oft zu Differentialgleichungen ohne hinreichend glatte Lösungen führen, der einzige Lösungsansatz besteht dann in der schwachen Formulierung. Selbst in Situationen, in denen eine Gleichung differenzierbare Lösungen besitzt, ist es oft vorteilhaft zunächst die Existenz schwacher Lösungen zu beweisen und dann zu einem späteren Zeitpunkt zu zeigen, dass die Lösungen ausreichend glatt sind.