Semantische Folgerung

Der Begriff der semantischen Folgerung ist in der Modelltheorie eine Form der Implikation. Aus jeder Semantik, das heißt einem Raum möglicher Interpretationen der Sätze einer formalen, logischen Sprache, ergibt sich ein Begriff semantischer Folgerung. Diese ist so definiert, dass ein Satz ${\displaystyle B}$ genau dann aus einer Menge von Sätzen ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ folgt, wenn in jeder Interpretation, in der die Sätze ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ gelten (wahr sind), auch der Satz ${\displaystyle B}$ gilt (wahr ist). Gegenbegriff zur semantischen Folgerung ist die Deduktion, welche sich aus der Anwendung der Schlussregeln eines Beweiskalküls ergibt, das heißt – typischerweise berechenbaren – ohne Verweis auf Interpretationen definierte syntaktische Transformationen auf Sätzen. Zur Unterscheidung wird das Symbol ${\displaystyle \models }$ für die semantische und ${\displaystyle \vdash }$ für die syntaktische Folgerungsrelation (Deduktion) verwendet. Durch Vergleich mit einer semantischen Folgerungsrelation lassen sich dabei auch Rückschlüsse über die Verhältnisse und Eigenschaften von Beweiskalkülen gewinnen: So sind die Ableitungsrelationen ${\displaystyle \models }$ und ${\displaystyle \vdash }$ je nach Wahl der Semantik auf der einen Seite und des Kalküls auf der anderen Seite im Allgemeinen nicht gleich mächtig. Nur in besonderen, aber auch besonders wichtigen Fällen, wie in der klassischen Aussagen- und Prädikatenlogik erster Stufe mit der Tarski-Semantik auf der einen Seite und den üblichen Kalkülen auf der anderen Seite, sind sie äquivalent. In dem Fall, dass jede syntaktische Folgerung auch eine semantische Folgerung ist, spricht man von Korrektheit, im umgekehrten Fall, dass es zu jeder semantischen Folgerung auch eine syntaktische Ableitung gibt, von Vollständigkeit.