Siebeneck nach Archimedes

Das Siebeneck nach Archimedes (auch bekannt als Siebeneck im Kreise) bezeichnet das Konstruktionsverfahren von Archimedes für ein regelmäßiges Siebeneck. Es ist allerdings – wie jedes regelmäßige Siebeneck – nicht allein mit den klassischen Hilfsmitteln Zirkel und (unmarkiertem) Lineal exakt darstellbar. Die bekannte Figur (siehe nebenstehendes Bild), von mehreren Übersetzern seines Werkes Siebeneck im Kreise als Neusis-Konstruktion bezeichnet, ist der überlieferten Ausarbeitung von Thabit ibn Qurra nachempfunden. Das darin eingezeichnete Siebeneck sowie dessen Umkreis sind nicht überliefert, sie dienen lediglich der Verdeutlichung. Es ist nicht bekannt, wie Archimedes das markierte Lineal zur Einschiebung (Neusis) nutzte, um den Punkt ${\displaystyle M}$ oder ${\displaystyle D}$ zu bestimmen.

• Als Ansatz dient: Die Strecke ${\displaystyle {\overline {CM}}}$ ist gleich der Seitenlänge ${\displaystyle s}$ eines Siebenecks, wenn die beiden Dreiecke ${\displaystyle TMC}$ und ${\displaystyle WRU}$ den gleichen Flächeninhalt haben.

Die Aufgabe verlangt zu Beginn ein beliebiges Quadrat ${\displaystyle AWRC}$ mit Verlängerung der Seite ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ über ${\displaystyle C}$ hinaus und die Diagonale ${\displaystyle {\overline {AR}}}$. Für die Weiterführung der Konstruktion sind zwei Varianten überliefert. Bei der ersten – die Archimedes zugeschrieben wird – bedarf es noch einer Transversalen, also einer ab Punkt ${\displaystyle W}$ schräg durch das Quadrat verlaufenden Halbgeraden. Dabei schneidet sie die Diagonale ${\displaystyle {\overline {AR}}}$ im Punkt ${\displaystyle U}$, die Quadratseite ${\displaystyle {\overline {CR}}}$ im Punkt ${\displaystyle T}$ und bestimmt auf der Verlängerung den gesuchten Punkt ${\displaystyle M}$ (Abschnitt Konstruktion von Archimedes). Bei der zweiten Variante wird der Teilungspunkt ${\displaystyle D}$ auf der Quadratseite ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ festgelegt und eine Parallele zu ${\displaystyle {\overline {AW}}}$ ab ${\displaystyle D}$ gezogen. Dabei entsteht der Schnittpunkt ${\displaystyle U}$ auf der Diagonale ${\displaystyle {\overline {AR}}}$ und ${\displaystyle V}$ auf ${\displaystyle {\overline {WR}}}$ (Abschnitt Teilungspunkt ${\displaystyle D}$ mithilfe eines Funktionsgraphen). In beiden Konstruktionsvarianten besitzen die erzeugten Dreiecke ${\displaystyle TMC}$ und ${\displaystyle WRU}$ den gleichen Flächeninhalt, sodass gilt:

${\displaystyle |{\overline {CM}}|^{2}=|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {AD}}|}$ und ${\displaystyle |{\overline {AD}}|^{2}=|{\overline {CD}}|\cdot |{\overline {DM}}|}$.

Diese zwei Varianten sowie zwei zusätzliche, die ebenfalls den Endpunkt ${\displaystyle M}$ bestimmen (Abschnitte Endpunkt M mithilfe eines markierten Lineals und Endpunkt M mithilfe zweier Zickzacklinien) werden im Folgenden auf unterschiedliche Art und Weise erörtert. Wurde die Seitenlänge ${\displaystyle s}$ auf diese Art und Weise ermittelt, können anschließend, durch eine einfache weiterführende Konstruktion bei gegebenem Umkreis bzw. bei gegebener Seitenlänge, Siebenecke als Konstruktion mit Zirkel und unmarkiertem Lineal bestimmt werden.