Skalarprodukt

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Es ist Gegenstand der analytischen Geometrie und der linearen Algebra. Historisch wurde es zuerst im euklidischen Raum eingeführt. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}}$ nach der Formel

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}}).}$

Dabei bezeichnen ${\displaystyle |{\vec {a}}|}$ und ${\displaystyle |{\vec {b}}|}$ jeweils die Längen (Beträge) der Vektoren. Mit ${\displaystyle \cos \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})=\cos \varphi }$ wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels ${\displaystyle \varphi }$ (Phi) bezeichnet. Das Skalarprodukt zweier Vektoren gegebener Länge ist damit null, wenn sie senkrecht zueinander stehen, und maximal, wenn sie die gleiche Richtung haben.

In einem kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})}$ als

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}$

Kennt man die kartesischen Koordinaten der Vektoren, so kann man mit dieser Formel das Skalarprodukt und daraufhin mit der Formel aus dem vorhergehenden Absatz den Winkel ${\displaystyle \varphi =\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})}$ zwischen den beiden Vektoren ausrechnen, indem diese nach ${\displaystyle \varphi }$ aufgelöst wird:

${\displaystyle \varphi =\arccos {\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}}$

In der linearen Algebra wird dieses Konzept für beliebig viele Dimensionen zu

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}}$

verallgemeinert.

Noch allgemeiner versteht man in der linearen Algebra unter einem Skalarprodukt eine Funktion, die zwei Elementen eines reellen oder komplexen Vektorraums einen Skalar zuordnet, genauer eine (positiv definite) hermitesche Sesquilinearform bzw. spezieller bei reellen Vektorräumen eine (positiv definite) symmetrische Bilinearform. Im Allgemeinen ist in einem Vektorraum von vornherein kein Skalarprodukt festgelegt. Ein Raum zusammen mit einem Skalarprodukt wird als Innenproduktraum oder Prähilbertraum bezeichnet. Diese Vektorräume verallgemeinern den euklidischen Raum und ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.