Skalengesetz

Unter Skalengesetzen oder Skalierungsgesetzen versteht man die Manifestationen von mathematischen Beziehungen der Art

${\displaystyle f(x)=bc^{x}}$,

d. h. exponentielle Beziehungen, oder

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle f(x) = b x ^ c} ,

d. h. Potenz- oder polynomiale Beziehungen, wobei ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ reelle Konstanten darstellen. Potenzgesetze sind häufiger anzutreffen als exponentielle Beziehungen.

Derartige Beziehungen sind in der Natur und Gesellschaft so verbreitet, dass man von einem strukturbildenden Prinzip sprechen kann. Teilweise handelt es sich um rein empirisch gefundene Verteilungen, teilweise konnten diese aber auf eine solide theoretische Basis gestellt werden, so dass im naturwissenschaftlichen Sinne von »Gesetzen« gesprochen werden kann. Das begründet sich unter anderem darin, dass

${\displaystyle x(t)=ce^{t}}$

die Lösung der simpelsten linearen Differentialgleichung

${\displaystyle {\dot {x}}=x}$

ist, die einen sich selbst beschleunigenden Prozess beschreibt, z. B. das Wachstum einer Population ohne Ressourcenbeschränkung.

Skalenbeziehungen, die auf Potenzgesetzen beruhen, sind skaleninvariant aufgrund der Beziehung

${\displaystyle f(ax)=b(ax)^{c}=a^{c}bx^{c}=a^{c}f(x)\propto f(x)}$

d. h., dass ${\displaystyle f(ax)}$ proportional ${\displaystyle f(x)}$ ist und sich die Charakteristika von ${\displaystyle f}$ nicht verändern. Exponentielle Beziehungen zeigen diese Skaleninvarianz nicht.