Skewes-Zahl

Die Skewes-Zahl (nach Stanley Skewes) ist eine obere Grenze für das Problem der Überschätzung der Primzahldichte ${\displaystyle \pi (x)}$ mit dem Integrallogarithmus ${\displaystyle \mathrm {Li} (x)}$ nach Carl Friedrich Gauß. Sie ist eine obere Schranke ${\displaystyle x}$ dafür, dass ${\displaystyle \mathrm {Li} (y)<\pi (y)}$ für einen Wert ${\displaystyle y\leq x}$ gilt. Anders ausgedrückt findet unterhalb der Skewes-Zahl ein Vorzeichenwechsel von ${\displaystyle \pi (y)-\mathrm {Li} (y)}$ statt, der von John Edensor Littlewood vorhergesagt worden war.

Skewes fand für sie den Wert ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{79}}}}$. Auch die Approximation ${\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}}$ ist gebräuchlich. Die Skewes-Zahl galt früher als Beispiel einer besonders großen in der Mathematik relevanten Zahl.

Die obere Schranke ist nach Skewes weiter herabgesetzt worden. Inzwischen wird auch die Suche nach einer unteren Schranke für die Zahl, an der erstmals ein Vorzeichenwechsel stattfindet, vorangetrieben.