Stabilitätsfunktion

Die Stabilitätsfunktion ist in der Numerik ein Hilfsmittel, um Lösungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen zu analysieren. Die einfache Testgleichung von Germund Dahlquist ${\displaystyle y'(t)=\lambda y(t),\ y(0)=1}$ mit ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ besitzt als Lösung die Exponentialfunktion ${\displaystyle y(t)=e^{\lambda t}}$. Bei den meisten Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen kann man die berechnete Näherungslösung nach einem Zeitschritt mit einer Schrittweite ${\displaystyle h}$ ebenfalls als eine Funktion schreiben, die nur vom Produkt ${\displaystyle z=h\lambda \in \mathbb {C} }$ abhängt. Diese Funktion ist die Stabilitätsfunktion und wird oft mit ${\displaystyle R(z)}$ bezeichnet. Durch einen Vergleich mit der Exponentialfunktion ${\displaystyle e^{z}=e^{h\lambda }}$ bekommt man grundlegende Informationen über das numerische Verfahren. So beziehen sich einige Stabilitätsbegriffe auf die Eigenschaften von ${\displaystyle R(z)}$.