Stochastische Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Die stochastische Analysis auf Mannigfaltigkeiten (auch stochastische Differentialgeometrie genannt) bezeichnet ein Teilgebiet der Stochastik, in dem die stochastische Analysis auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten angewendet wird. Es handelt sich somit um die Synthese der stochastischen Analysis mit der Differentialgeometrie.
Ein Punkt, der eine natürliche Brücke zwischen der Analysis und der Stochastik schlägt, ist die Tatsache, dass der infinitesimale Generator eines stetigen starken Markow-Prozesses ein elliptischer Operator zweiter Ordnung ist. Der infinitesimale Generator der brownschen Bewegung ist der Laplace-Operator und die Übergangswahrscheinlichkeitsdichte der brownschen Bewegung ist gerade der minimale Wärmeleitungskern der Wärmeleitungsgleichung. Werden brownsche Pfade als charakteristische Kurven des Operators interpretiert, so lässt sich die Lösung einer Problemstellung mit diesem Operator als brownsche Bewegung darstellen.
Untersuchungsgegenstände der stochastischen Analysis auf Mannigfaltigkeiten sind stochastische Prozesse auf nicht-linearen Zustandsräumen oder Mannigfaltigkeiten. Die klassische Theorie wird neu in koordinatenfreier Darstellung formuliert, eine Schwierigkeit dabei ist, dass es meistens nicht möglich ist, mit Koordinaten das Ganze auf zu formulieren. Eine Folge davon ist, dass man für die Definition des Martingales und der brownschen Bewegung auf einer Mannigfaltigkeit zusätzliche geometrische Strukturen wie lineare Zusammenhänge und riemannschen Metriken benötigt.
Die brownsche Bewegung wird als den durch den halben Laplace-Beltrami-Operator generierten Diffusionsprozess bezüglich einer Mannigfaltigkeit definiert und lässt sich als Lösung einer nicht-kanonischen stochastischen Differentialgleichung auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit konstruieren. Da der Operator auf einer nicht-parallelisierbaren Mannigfaltigkeit keine natürliche Darstellung in Hörmanderform besitzt, existiert auch kein kanonisches Verfahren zur Konstruktion der brownschen Bewegung. Allerdings lässt sich dieses Problem für Mannigfaltigkeiten mit Zusammenhang durch die Einführung des stochastischen horizontalen Lifts eines Semimartingals und der stochastischen Abwicklung mit der sogenannten Eells-Elworthy-Malliavin-Konstruktion () lösen.
Ersteres ist eine Verallgemeinerung des horizontalen Lifts von differenzierbaren Kurven zu horizontalen Kurven im Rahmenbündel, so dass die anti-Abwicklung und der horizontale Lift durch eine stochastische Differentialgleichung im Zusammenhang stehen. Dadurch kann wiederum eine SDGL auf dem Orthonormalbasenbündel (auch orthonormales Rahmenbündel genannt) einer riemannschen Mannigfaltigkeit betrachtet werden, deren Lösung die brownsche Bewegung ist und man projiziert diese auf die Mannigfaltigkeit via stochastischer Abwicklung. Als bildliche Interpretation entspricht dies der Konstruktion einer sphärischen brownschen Bewegung durch das „Rollen ohne Rutschen“ (englisch rolling without slipping) der Mannigfaltigkeit entlang der Pfade der Brownschen Bewegung im euklidischen Raum.
Die stochastische Differentialgeometrie bietet eine neue Einsicht in die klassische Analysis und liefert neue wahrscheinlichkeitstheoretische Beweismöglichkeiten. Als Beispiel kann die brownsche Bewegung auf das Dirichlet-Problem im Unendlichen für die Cartan-Hadamard-Mannigfaltigkeit angewendet werden und ein weiteres Beispiel ist ein probabilistischer Beweis des Atiyah-Singer-Indexsatz. Die stochastische Differentialgeometrie findet aber auch Anwendungen in anderen Gebieten wie der Finanzmathematik. So lässt sich zum Beispiel die klassische Arbitrage-Theorie in differentialgeometrische Sprache übertragen (geometrische Arbitrage-Theorie genannt).