Sturm-Liouville-Problem

Ein klassisches Sturm-Liouville-Problem (nach Charles-François Sturm (1803–1855) und Joseph Liouville (1809–1882)) ist folgendes Eigenwertproblem aus der Analysis: Man betrachte die Differentialgleichung 2. Ordnung:

${\displaystyle -\left(p\cdot \psi '\right)'+q\cdot \psi =\lambda \cdot w\cdot \psi }$

wobei ${\displaystyle p,q,w}$ Koeffizientenfunktionen sind. Finde alle komplexen Zahlen ${\displaystyle \lambda }$, für die die Differentialgleichung auf dem Intervall ${\displaystyle (a,b)}$ eine Lösung besitzt, die den Randbedingungen

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\alpha )\psi (a)&+\sin(\alpha )p(a)\psi '(a)=0\\\cos(\beta )\psi (b)&+\sin(\beta )p(b)\psi '(b)=0\end{aligned}}}$

genügt (${\displaystyle \alpha ,\beta \in [0,\pi )}$).

Führt man den linearen Operator der Form

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)}$

ein, den Sturm-Liouville-Operator, so kann die Eigenwertgleichung ${\displaystyle {\mathcal {L}}\psi =\lambda \psi }$ mithilfe von Methoden aus der Funktionalanalysis (Spektraltheorie) im Hilbertraum der bezüglich der Gewichtsfunktion ${\displaystyle w}$ quadratintegrierbaren Funktionen behandelt werden.

Ist das Intervall kompakt und sind die Koeffizientenfunktionen ${\displaystyle w,p^{-1},q}$ integrierbar, so spricht man von einem regulären Sturm-Liouville-Problem. Ist das Intervall unbeschränkt oder sind die Koeffizientenfunktionen nur lokal integrierbar, so spricht man von einem singulären Sturm-Liouville-Problem.