Symmetrische Gruppe

Die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ (${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}$ oder ${\displaystyle \operatorname {Sym} _{n}}$) ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge besteht. Man nennt ${\displaystyle n}$ den Grad der Gruppe. Die Gruppenoperation ist die Komposition ${\displaystyle \circ }$ (Hintereinanderausführung) der Permutationen; das neutrale Element ist die identische Abbildung. Die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ ist endlich und besitzt die Ordnung ${\displaystyle n!}$. Sie ist für ${\displaystyle n>2}$ nichtabelsch.

Der Name der Gruppe wurde deshalb so gewählt, weil die Funktionen der Variablen ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsb ,x_{n}}$, die bei allen Permutationen invariant bleiben, die symmetrischen Funktionen sind.

Mitunter findet man auch die Definition der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S(M)}$ oder ${\displaystyle \operatorname {Sym} (M)}$ einer beliebigen nicht-leeren Menge ${\displaystyle M}$, bestehend aus allen bijektiven Abbildungen der Menge ${\displaystyle M}$ in sich, zusammen mit der üblichen Komposition von Abbildungen. Die Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ ist dann die symmetrische Gruppe von ${\displaystyle M=\{1,2,...,n\}}$.