Symplektische Abbildung

Eine symplektische Abbildung ist eine Objekt aus der Mathematik insbesondere aus der symplektischen Geometrie. Die symplektische Abbildung ist eine Verallgemeinerung der symplektischen linearen Abbildung, die die strukturerhaltende Abbildung zwischen symplektischen Vektorräume ist, in den Kontext der symplektischen Mannigfaltigkeiten. Eine Koordinatendarstellung der symplektischen linearen Abbildung wird symplektische Matrix genannt. Ist die symplektische Abbildung invertierbar, so wird sie als Symplektomorphismus bezeichnet.

Symplektische Abbildungen sind per Definition genau die Abbildungen die alternierende, nicht ausgeartete Bilinearformen unverändert lassen. Symplektische Abbildungen zwischen zwei Flächen bilden damit per Konstruktion die Klasse von Abbildungen, die die Größe von Flächen nicht verändern, also den Flächeninhalt gleich belassen. In höheren Dimensionen gibt es jedoch volumenerhaltende Abbildungen, die keine symplektischen Abbildungen sind. Ein analoges Konzept ist das der orthogonalen Abbildung, die symmetrische, nicht ausgeartete Bilinearformen unverändert lässt und damit Winkel nicht verändert.

In der klassischen Mechanik stellt ein Symplektomorphismus eine Transformation des Phasenraums dar, die volumenerhaltend ist und die symplektische Struktur des Phasenraums bewahrt, als kanonische Transformation bezeichnet.