Verband (Mathematik)

Ein Verband ist in der Mathematik eine Struktur, die sowohl als Ordnungsstruktur als auch als algebraische Struktur vollständig beschrieben werden kann. Als Ordnungsstruktur ist ein Verband dadurch gekennzeichnet, dass es zu je zwei Elementen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ein Supremum ${\displaystyle a\vee b}$ gibt, d. h. ein eindeutig bestimmtes kleinstes Element, das größer oder gleich ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ist, und umgekehrt ein Infimum ${\displaystyle a\wedge b}$, ein größtes Element, das kleiner oder gleich ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ist. Als algebraische Struktur ist ein Verband dadurch gekennzeichnet, dass es zwei assoziative und kommutative Operationen gibt, für die die Absorptionsgesetze kennzeichnend sind: Für beliebige Elemente gilt

${\displaystyle u\vee (u\wedge v)=u}$   und   ${\displaystyle u\wedge (u\vee v)=u}$.

Für jede in der Verbandstheorie vorkommende algebraische Aussage gibt es eine direkte Übersetzung in eine Ordnungsaussage und umgekehrt. Diese Übersetzung ist in den meisten Fällen auch anschaulich nachzuvollziehen. Die Möglichkeit, Ergebnisse doppelt zu interpretieren und dadurch besser zu verstehen, macht die Untersuchung und die Verwendung von Aussagen aus der Verbandstheorie so interessant. Der Begriff Verband wurde im hier beschriebenen Sinne von Fritz Klein-Barmen geprägt.

Obwohl diese doppelte Charakterisierung auf den ersten Blick sehr speziell aussieht, treten Verbände häufig auf:

• Die z. B. in der Mengenlehre, der Logik und als Schaltalgebren auftretenden Booleschen Algebren sind Verbände.
• Totale Ordnungen, die z. B. in den verschiedenen Zahlbereichen wie ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (natürliche Zahlen), ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (ganze Zahlen), ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (rationale Zahlen) oder ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (reelle Zahlen) auftreten, sind Verbände.
• Für jede beliebige natürliche Zahl ist die Menge der Teiler (durch die Teilbarkeit geordnet) ein Verband.
• Die Unterstrukturen einer beliebigen algebraischen oder sonstigen Struktur bilden einen Verband mit der Teilmengenrelation als Ordnung.

In der Literatur sind auch die Symbole ${\displaystyle \sqcup }$ und ${\displaystyle \sqcap }$ anstelle von ${\displaystyle \vee }$ und ${\displaystyle \wedge }$ verbreitet. Diese Notation wird hier aufgrund von technischen Einschränkungen allerdings nicht verwendet.

In einer früher üblichen Terminologie wurde ein Verband (nach Richard Dedekind) auch als Dualgruppe bezeichnet.