Vermutung von Elliott und Halberstam

Die Vermutung von Elliott und Halberstam (EH, nach Peter D. T. A. Elliott und Heini Halberstam 1968) aus der analytischen Zahlentheorie betrifft den Fehlerterm in dem Dirichletschen Satz über die Primzahlverteilung in arithmetischen Progressionen.

Sei ${\displaystyle \pi (x)}$ die Primzahlfunktion (Anzahl der Primzahlen kleiner gleich ${\displaystyle x}$) und ${\displaystyle \pi (x,q,a)}$ die Anzahl der Primzahlen ${\displaystyle y\leq x}$ mit ${\displaystyle y=a\mod q}$ (mit ${\displaystyle a}$ teilerfremd zu ${\displaystyle q}$). Nach dem Dirichletschen Primzahlsatz ist:

${\displaystyle \pi (x;q,a)\approx {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}}$

mit der Eulerschen Phi-Funktion ${\displaystyle \varphi }$. Sei

${\displaystyle E(x;q)=\max _{{\text{gcd}}(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|}$

die Fehlerfunktion dieser Verteilung.

Die Vermutung von Elliott und Halberstam lautet:

Für jedes ${\displaystyle \theta <1}$ und ${\displaystyle A>0}$ gibt es eine Konstante ${\displaystyle C>0}$, so dass:

${\displaystyle \sum _{1\leq q\leq x^{\theta }}E(x;q)\leq {\frac {Cx}{\log ^{A}x}}}$

für alle ${\displaystyle x>2}$.

Für ${\displaystyle \theta =1}$ ist die Vermutung falsch, für ${\displaystyle \theta <{\frac {1}{2}}}$ ist sie Inhalt des Satzes von Bombieri und Winogradow.

Wie Dan Goldston, János Pintz und Cem Yıldırım zeigten, folgt aus der Vermutung, dass es unendlich viele Paare von Primzahlen gibt, die maximalen Abstand 16 haben. James Maynard konnte das ebenfalls unter Voraussetzung der Vermutung auf 12 verbessern. Das Polymath-Projekt (Polymath 8, Terence Tao u. a.) konnte das unter Voraussetzung der verallgemeinerten Vermutung von Elliott und Halberstam auf 6 verbessern. Ohne Benutzung einer Vermutung ist die beste Schranke zurzeit (2019) 246 (siehe Primzahlzwilling).

Terry Tao zeigte 2014, dass die Vermutung von Winogradow über die Größenordnung der kleinsten quadratische Nicht-Reste (mod p) ${\displaystyle n(p)}$ aus der Elliott-Halberstam-Vermutung folgt. Winogradows Vermutung besagt ${\displaystyle n(p)=O(p^{\varepsilon })}$ für jedes ${\displaystyle \epsilon >0}$. Die Vermutung von Winogradow folgt nach Linnik auch aus der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung.