Zugeordnete Legendrepolynome

Bei zugeordneten Legendrepolynomen bzw. assoziierten Legendrepolynomen, auch zugeordnete Kugelfunktionen genannt, handelt es sich um Funktionen, die in der Mathematik und theoretischen Physik verwendet werden. Da nicht alle zugeordneten Legendrepolynome wirklich Polynome sind, sprechen viele Autoren auch von zugeordneten bzw. assoziierten Legendrefunktionen.

Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Lösungen der allgemeinen Legendregleichung:

${\displaystyle (1-x^{2})\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}\,y}{\mathrm {d} x^{2}}}-2x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\left(\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0}$

Diese gewöhnliche Differentialgleichung hat nicht-singuläre Lösungen im Intervall ${\displaystyle [-1,1]}$ nur dann, wenn ${\displaystyle \ell \,}$ und ${\displaystyle m\,}$ ganzzahlig sind mit ${\displaystyle 0\leq m\leq \ell }$.

Man begegnet der allgemeinen Legendregleichung (und damit den zugeordneten Legendrepolynomen) häufig in der Physik, insbesondere wenn eine sphärische Symmetrie vorliegt, wie beispielsweise im Zentralpotential. Hier lassen sich die Laplacegleichung sowie verwandte partielle Differentialgleichungen oft auf die allgemeine Legendregleichung zurückführen. Das prominenteste Beispiel hierfür ist die quantenmechanische Lösung der Energiezustände des Wasserstoffatoms.