Äquivalenztransformation

Die Äquivalenztransformation oder reguläre Transformation von Matrizen ist in der linearen Algebra die Transformation einer Matrix A in eine äquivalente Matrix B durch invertierbare Matrizen L und R vermöge

LAR = B

Ist die Matrix A eine hermitesche Matrix und soll auch B es sein, sind R und L adjungiert zueinander zu wählen. Die Äquivalenztransformation geht dann über in den Spezialfall der Kongruenz­transformation

LAL^H = B   oder im Reellen    LAL^⊤ = B

Eine Äquivalenztransformation kann praktisch in einer erweiterten Matrix mit drei Matrizen und bestimmten Grund- oder Elementaroperationen der Spalten- und Zeilen der Matrizen durchgeführt werden.

Von zentraler Bedeutung ist die Überführung von Matrizen in eine Pivotmatrix, die in jeder Spalte und Zeile höchstens einen von null verschiedenen Eintrag aufweist. Die Einheits-, Diagonal- und Permutationsmatrizen sind Pivotmatrizen; diese müssen jedoch weder quadratisch noch invertierbar sein. Die Anzahl der von null verschiedenen Einträge in einer Pivotmatrix entspricht ihrem Rang.

Die Äquivalenztransformation ist Grundlage für das Gauß’sche Eliminationsverfahren und den Gauß-Jordan-Algorithmus und sie ist dienlich bei der Ermittlung des Ranges einer Matrix sowie der Eigenspalten und Eigenzeilen einer singulären Matrix.

Sind bei gegebenen A die Matrizen LBR = A mit einer Pivotmatrix B gesucht, dann empfiehlt sich der Algorithmus von Banachiewicz.

1. R. Zurmühl, S. Falk: Matrizen und ihre Anwendungen 1. Grundlagen, Für Ingenieure, Physiker und Angewandte Mathematiker. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-61436-2. 
   1. 1 2 3 S. 56.
   2. ↑ S. 75.
2. J. Liesen, V. Mehrmann: Lineare Algebra. Ein Lehrbuch über die Theorie mit Blick auf die Praxis. Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-06609-3, doi:10.1007/978-3-658-06610-9. 
   1. ↑ S. 59.