9j-Symbol

9j-Symbole nach Eugene Wigner dienen dazu, vier Drehimpulse in der Quantenmechanik zu koppeln.

Entsprechend ist das 9j-Symbol folgendermaßen über den Umkopplungskoeffizienten definiert:

${\displaystyle {\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)(2j_{7}+1)(2j_{8}+1)}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=\langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle .}$

Der Umkopplungskoeffizient auf der rechten Seite transformiert zwischen zwei Basensätze: im Einen wird ${\displaystyle j_{1}}$ mit ${\displaystyle j_{2}}$ zu ${\displaystyle j_{3}}$ gekoppelt und ${\displaystyle j_{4}}$ mit ${\displaystyle j_{5}}$ zu ${\displaystyle j_{6}}$ und danach ${\displaystyle j_{3}}$ und ${\displaystyle j_{6}}$ zu ${\displaystyle j_{9}}$. Im Anderen wird ${\displaystyle j_{1}}$ mit ${\displaystyle j_{4}}$ zu ${\displaystyle j_{7}}$ gekoppelt und ${\displaystyle j_{2}}$ mit ${\displaystyle j_{5}}$ zu ${\displaystyle j_{8}}$ und danach ${\displaystyle j_{7}}$ und ${\displaystyle j_{8}}$ zu ${\displaystyle j_{9}}$.

${\displaystyle |((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle =\sum _{j_{3}}\sum _{j_{6}}\langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle \,|((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}\rangle }$

${\displaystyle ={\sqrt {(2j_{7}+1)(2j_{8}+1)}}\,\sum _{j_{3}}\sum _{j_{6}}\,{\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}|((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}\rangle }$