abc-Vermutung

Die abc-Vermutung (englisch abc conjecture) ist eine im Jahre 1985 von David Masser und Joseph Oesterlé aufgestellte mathematische Vermutung, die in den letzten Jahren mehr und mehr Aufmerksamkeit auf sich gezogen hat. Es geht dabei um die Abschätzung einer drei teilerfremden natürlichen Zahlen zugeordneten Größe für den Fall, dass eine der drei Zahlen die Summe der beiden anderen ist. Im Wesentlichen besagt die Vermutung von Masser und Oesterlé, dass bei drei „großen“ natürlichen Zahlen, die in der beschriebenen Weise additiv verknüpft sind, nicht alle Primfaktoren „klein“ sein können.

Einer bekannten Heuristik zufolge beruht die abc-Vermutung darauf, dass natürliche Zahlen mit zahlenmäßig vielen mehrfach auftretenden Primfaktoren – sogenannte hochpotente oder auch „reiche“ Zahlen – vergleichsweise selten vorkommen. In Anlehnung an eine Definition von Barry Mazur kann eine natürliche Zahl als multiplikativ hochpotent bezeichnet werden, wenn ihre Binärdarstellung wesentlich länger ist als die Binärdarstellung ihres größten quadratfreien Teilers, also des Produktes aller enthaltenen verschiedenen Primfaktoren. Dann besagt die abc-Vermutung für zwei teilerfremde hochpotente Zahlen ${\displaystyle n_{1}}$ und ${\displaystyle n_{2}}$, dass weder ihre Summe ${\displaystyle n_{1}+n_{2}}$ noch ihre Differenz ${\displaystyle n_{1}-n_{2}}$ hochpotent sein kann, eventuell mit Ausnahmen, wenn ${\displaystyle \max(n_{1},n_{2})}$ klein ist.

Die Vermutung ist bisher weder bewiesen noch widerlegt. Sie gilt aber wegen ihrer Schwierigkeit und wegen ihrer Bedeutung als prominenter Nachfolger der inzwischen bewiesenen Fermatschen Vermutung. Es ist bereits eine Vielzahl weitreichender zahlentheoretischer Theoreme bekannt, die unter der Voraussetzung der Gültigkeit der abc-Vermutung hergeleitet werden können.

Dorian Goldfeld bezeichnete sie sogar als wichtigstes ungelöstes Problem der diophantischen Analysis.

1. ↑ Jean-Marie De Koninck, Florian Luca: Analytic Number Theory. American Mathematical Society, Providence, RI 2012, Kap. 11, S. 168. 
2. ↑ Noam Elkies: The ABC´s of Number Theory (PDF; 417 kB)
3. ↑ Gerhard Frey: Die ABC-Vermutung. Spektrum d. Wiss. Februar 2009, S. 70–77
4. ↑ The Amazing ABC Conjecture (Memento vom 28. Juni 2013 im Internet Archive)
5. ↑ Dorian Goldfeld: Beyond the last theorem. In: The Sciences, März–April 1996, Volume 36, S. 34–40. doi:10.1002/j.2326-1951.1996.tb03243.x