Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus

Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus sind definiert als die Umkehrfunktionen von Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus und damit Area-Funktionen.

Schreibweisen:

${\displaystyle y=\operatorname {artanh} (x):=\tanh ^{-1}(x)}$

${\displaystyle y=\operatorname {arcoth} (x):=\coth ^{-1}(x)}$

Letztere wird seltener benutzt, um die Verwechslung mit dem Kehrwert des hyperbolischen (Ko-)Tangens zu vermeiden. Es gilt:

${\displaystyle \operatorname {artanh} (x)=\tanh ^{-1}(x)\not =\tanh(x)^{-1}={\frac {1}{\tanh(x)}}}$

Oft werden genau bei der Umkehrfunktion auch Spitzklammern um die Minus Eins geschrieben, um diese Verwechslung zu verhindern.

Die folgenden Identitäten werden auch als Definitionen angegeben:

${\displaystyle \operatorname {artanh} (x)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad |x|<1}$

${\displaystyle \operatorname {arcoth} (x)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad |x|>1}$

1. ↑ Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 95.