Baire-Raum (speziell)

Der Baire-Raum ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ (nach dem französischen Mathematiker René Louis Baire) ist ein topologischer Raum. Seine Grundmenge ist die Menge aller unendlichen Folgen von natürlichen Zahlen (${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$), und die Topologie des Baire-Raums (die Menge der offenen Mengen des Baire-Raums) besteht aus denjenigen Mengen solcher Folgen, die die Vereinigung von Mengen aus Folgen mit gemeinsamem Präfix sind.

Der Baire-Raum hat besondere Bedeutung für die deskriptive Mengenlehre, da sich viele Sätze, die für den Baire-Raum bewiesen werden können, auf allgemeine polnische Räume, etwa auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ oder den Hilbertwürfel ${\displaystyle [0,1]^{\mathbb {N} }}$ unmittelbar übertragen. In Beweisen kann der Baire-Raum einfacher zu handhaben sein als etwa der Raum der reellen Zahlen.

1. ↑ Donald A. Martin: Classical Descriptive Set Theory. In: Jon Barwise (Hrsg.): Handbook of Mathematical Logic (= Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Bd. 90). North-Holland, Amsterdam u. a. 1977, ISBN 0-7204-2285-X, S. 783–818, hier S. 785: „We do not use the real line, because that space is slightly awkward to use.“